专接本数学考试大纲
2011年01月29日
河北省专接本公共课考试考试大纲—高等数学考试大纲 总要求 考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、微分方程的基本概念与基本理论，掌握上述各部分的基本方法；注意各部分知识结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能讯用所学知识分析并解决简单的实际问题。《高等数学（一）》的考试旨在“理解”、“掌握”和“了解”{或“知道”}、“会”（或“能”）两个层次上对考生进行测试。这里“理解”和“了解”两词分别是对概念、理论的高层次与低层次要求。“掌握”和“会”两词分别是对方法、运算的高层次与次层次要求。 内容 一、函数、极限与连续 （一）函数 1、知识范围 （1）函数的概念 函数的定义 函数的表示法 分段函数 （2）函数的简单性质 有界性 单调性 奇偶性 周期性 （3）反函数 反函数的定义 反函数的图形 （4）基本初等函数及其图形 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 （5）复合函数 （6）初等函数 2、要求 （1）理解函数的概念（定义域、对应规律），理解函数记号f(x)的意义并会运用。会求函数的定义域、表达式及函数值。会建立简单实际问题中的函数关系式。 （2）了解函数的几种简单性质，会判断函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。 （3）掌握基本初等函数及其图形的有关知识。 （4）理解复合函数的概念，掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或简单函数的复合法。 （二）极限 1、知识范围 （1）数列的极限 数列极限定义 数列极限的性质 数列极限的四则运算法则 （2）函数的极限 函数极限的定义 左极限与右极限的概念 自变量趋于有限值时函数极限存在的充分必要条件 函数极限的四则运算法则 两个重要极限： （3）无穷小量和无穷大量 无穷小量和无穷大量的定义 无穷小量和无穷大量的关系 无穷小量的性质 无穷小量阶的比较 2、要求 （1）了解极限概念（对极限定义中 等形式的描述不作要求），能根据极限概念分析函数的变化趋势。了解左极限与右极限概念，知道自变量趋于有限值时函数极限存在的充分必要条件。 （2）掌握极限四则运算法则。 （3）掌握用两个重要极限求极限的方法。 （4）了解无穷小量、无穷大量的概念，知道无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶、等价），会运用等价无穷小量代换求极限。 （三）连续 1、知识范围 （1）函数连续的概念 函数在一点连续的定义 左连续、右连续 函数（含分段函数）在一点连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类 （2）连续函数的运算与初等函数的连续性 （3）闭区间上连续函数的性质 有界性定理 介值定理（包括零点存在定理） 最大值与最小值定理 2、要求 （1）理解函数在一点连续与间断的概念。掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性。了解函数在一点连续与在一点极限存在之间的关系。 （2）会求函数的间断点及确定其类型。 （3）了解初等函数在其定义区间的连续性。了解在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。 二、一元函数微分学 （一）导数与微分 1、知识范围 （1）导数的概念 导数的定义 函数的可导性与连续性的关系 导数的几何意义与物理意义 （2）导数的四则运算法则 导数的基本公式 （3）求导方法 复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函数的求导法 （4）高阶导数的概念 （5）微分 微分的定义 微分的几何意义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性 2、要求 （1）理解导数概念。了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 （2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 （3）掌握导数基本公式及导数的四则运算法则。掌握复合函数的求导方法。 （4）掌握求隐函数及由对数方程所确定的函数的一、二阶导数的方法。会使用对数求导法。 （5）了解高阶导数的概念，会求初等函数的高阶导数。 （6）理解函数的微分概念及微分的几何意义。掌握微分运算法则及一阶微分形式的不变性。会求函数（含隐函数）的微分。 （二）中值定理及导数的应用 1、知识范围 （1）中值定理 罗尔（Rolle）定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 （2）洛必达法则 （3）函数的增减性的判别法 （4）函数极值与极值点的概念及其求法 （5）曲线的凹凸性、拐点及其求法 （6）曲线的水平渐近线与垂直渐近线及其求法 2、要求 （1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明简单的不等式和证明方程根的存在性。 （2）会利用洛必达法则求 型等未定式极限。 （3）会利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间。会利用函数的增减性证明简单的不等式。 （4）理解函数的极值的概念。掌握求函数极值的方法。会解简单的最大（小）值的应用问题。 （5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 （6）会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。 （7）会做出简单函数的图形。 三、一元函数积分学 （一）不定积分 1、知识范围 （1）不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 原函数存在定理 不定积分的性质 （2）不定积分法 基本积分公式 第一换元法（即凑微分法） 第二换元法 分部积分法 有理函数的不定积分法 简单无理函数及三角函数有理式的积分法 2、要求 （1）理解原函数与不定积分的概念。 （2）了解不定积分的性质 （3）掌握不定积分的基本积分公式 （4）掌握不定积分第一换元法、第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换），掌握分部积分法。 （5）会求简单有理函数的不定积分（分解定理不作要求）。会求简单无理函数及三角函数有理式的积分。 （二）定积分 1、知识范围 （1）定积分的概念 定积分的概念及其几何意义 定积分的性质 （2）可变上限的积分及其求导定理 牛顿—莱布尼兹公式 （3）定积分的换元法、分部积分法 （4）定积分的应用 平面图形的面积 旋转体的体积 物体沿直线运动时变力所作的功 （5）无穷区间的广义积分的收敛、发散 计算方法 2、要求 （1）理解定积分的概念与几何意义。 （2）了解定积分的性质。 （3）理解变上限积分为其上限的函数及其求导定理，会对变上限函数 进行分析运算。 （4）掌握牛顿—莱布尼兹公式。 （5）掌握用定积分的换元法和分部积分法计算定积分。会证明一些简单的积分恒等式。 （6）掌握用定积分求平面图形的面积和简单的封闭平面图形绕坐标轴旋转所成旋转体体积。会用定积分求沿直线运动的变力所作的功。 （7）了解广义积分 收敛、发散的概念。会求上述广义积分。 四、向量代数与空间解析几何 （一）向量代数 1、知识范围 （1）向量的概念 向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示 向量的方向余弦 （2）向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 （3）向量的数量积 二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件 （4）向量的向量积 二向量平行的充分必要条件 2、要求 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，了解单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 （2）掌握向量的线性运算、向量的数量积、向量的向量积的运算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的条件。 （二）平面与直线 1、知识范围 （1）常见的平面方程 点法式方程 一般式方程 （2）两平面平行的条件 两平面垂直的条件 点到平面的距离 （3）空间直线的方程 标准式方程（又称对称式方程或点向式方程） 一般式方程 参数式方程 （4）两直线平行的条件 两直线垂直的条件 直线在平面上的条件 2、要求 （1）掌握平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。 （2）会求点到平面的距离。 （3）掌握直线的标准式方程、参数式方程、一般式方程。会判定两直线平行、垂直。 （4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。 （三）简单的二次曲面 1、知识范围 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面 圆锥面 椭球面 2、要求 了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。 五、多元函数微分学 1、知识范围 （1）二元函数 多元函数的定义 二元函数的几何意义 二元函数的定义域 （2）二元函数的极限与连续 二元函数极限的概念 二元函数连续的概念 （3）偏导数与全微分 偏导数 全微分 高阶偏导数 （4）复合函数的偏导数 （5）隐函数的偏导数 （6）偏导数在几何上的应用 （7）多元函数的极值 Lagrange乘数法 2、要求 （1）了解多元函数的概念，二元函数的几何意义和定义域。了解二元函数极限与连续概念（计算不作要求）。 （2）理解偏导数的概念，了解全微分的概念，知道全微分存在的必要和充分条件。 （3）掌握二元初等函数的一、二阶偏导数的计算方法。 （4）掌握复合函数一、二阶偏导数的计算方法（含抽象函数）。 （5）会求二元函数的全微分（含抽象函数）。 （6）掌握由方程f(x,y,z)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的一、二阶偏导数的计算方法。（7）会求空间曲面的切平面和法线方程。 （8）会求多元函数的极值。会应用Lagrange乘数法求解一些最大值、最小值问题。 六、多元函数积分学 （一）二重积分 1、知识范围 （1）二重积分的概念 （2）二重积分的性质 （3）二重积分的计算 （4）二重积分的应用 2、要求 （1）了解额二重积分的概念及其性质 （2）掌握选择积分次序与交换积分次序。 （3）掌握二重积分的计算方法（直角坐标系，极坐标系）。 （4）会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间曲面所围成的体积、平面薄板质量） （二）曲线积分 1、知识范围 （1）对坐标的曲线积分的概念和性质 （2）对坐标的曲线积分的计算 （3）格林（Green）公式 曲线积分与路径无关的条件 2、要求 （1）了解对坐标的曲线积分的概念及性质。 （2）掌握对坐标的曲线积分的计算。 （3）掌握格林（Green）公式。掌握曲线积分与路径无关的条件，并会应用于曲线积分的计算中。 七、无穷级数 （一）数项级数 1、知识范围 （1）数项级数 数项级数的概念 级数的收敛与发散 级数的基本性质 级数收敛的必要条件 （2）正项级数敛散性的判别法 比较判别法 比值判别法 （3）任意项级数 绝对收敛 条件收敛 交错级数 莱布尼兹判别法 2、要求 （1） 理解级数收敛、发散的概念，知道级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。 （2）掌握几何级数 的敛散性。 （3）掌握正项级数的比值判别法，会用比较判别法。 （4）掌握调和级数与 级数 的敛散性。 （5）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念。会使用莱布尼兹判别法。 （二）幂级数 1、知识范围 （1）幂级数的概念 收敛半径 收敛区间 收敛域 （2）幂级数的基本性质 （3）将初等函数展开为幂级数 2、要求 （1）了解幂级数的概念。 （2）知道幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。 （3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛域的方法（包括端点处的收敛性）。 （4）会运用 的马克劳林展开式将一些简单的数等函数展开为x或 的幂级数。 八、常微分方程 （一）一阶微分方程 1、知识范围 （1）微分方程的概念 微分方程的定义阶解 通解 初始条件 特解 （2）可分离变量的方程 （3）一阶线性方程 2、要求 （1）了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。 （2）掌握可分离变量方程的解法。 （3）掌握一阶线性方程的阶法。 （二）可降阶方程 1、知识范围 （1） 型方程 （2） 型方程 2、要求 （1）会用降阶法解 型方程 （2）会用降阶法解 型方程 （三）二阶线性微分方程 1、知识范围 （1）二阶线性微分方程解的结构 （2）二阶常系数齐次线性微分方程 （3）二阶常系数非齐次线性微分方程 2、要求 （1）了解二阶线性微分方程解的结构 （2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 （3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为 ，其中 为x的n次多项式， 为实常数； ，其中 为实常数）。
